La botella de klein

La botella de klein

Botella de klein stoll de acantilado

En matemáticas, el plano proyectivo real es un ejemplo de colector bidimensional compacto no orientable, es decir, una superficie unilateral. No puede incrustarse en un espacio tridimensional estándar sin intersecarse a sí mismo. Tiene aplicaciones básicas para la geometría, ya que la construcción común del plano proyectivo real es como el espacio de líneas en R3 que pasan por el origen.

La geometría proyectiva no se ocupa necesariamente de la curvatura y el plano proyectivo real puede retorcerse y colocarse en el plano euclidiano o en el espacio tridimensional de muchas maneras diferentes[1] Algunos de los ejemplos más importantes se describen a continuación.

El plano proyectivo no puede ser incrustado (es decir, sin intersección) en el espacio euclidiano tridimensional. La prueba de que el plano proyectivo no se incrusta en el espacio euclidiano tridimensional es la siguiente: Suponiendo que se incrusta, limitaría una región compacta en el espacio euclidiano tridimensional por el teorema de la curva de Jordan generalizada. El campo vectorial normal unitario que apunta hacia el exterior daría entonces una orientación de la variedad de límites, pero la variedad de límites sería el plano proyectivo, que no es orientable. Esto es una contradicción, por lo que nuestra suposición de que se incrusta debe ser falsa.

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Una botella de Klein es una superficie no orientable[1], en la que no hay distinción entre el interior y el exterior. Así que, a diferencia de una esfera, en la que no se puede pasar del exterior al interior sin atravesar la superficie, en una botella de Klein se puede hacer precisamente eso. Si fueras muy pequeño, por ejemplo una hormiga, podrías empezar en cualquier punto y seguir arrastrándote hasta llegar al otro lado de la superficie, sin atravesar ninguna superficie y sin necesidad de cruzar ningún borde.

Esta es una de las series de botellas de vidrio de Klein realizadas por Alan Bennett en Bedford (Reino Unido) para el Museo de la Ciencia de Londres. Consta de tres botellas de Klein, una dentro de otra. Una botella de Klein es una superficie que no tiene bordes, ni exterior ni interior, y no puede construirse propiamente en tres dimensiones. En la serie, Alan Bennett hizo que las botellas de Klein fueran análogas a las tiras de Mobius con números impares de giros mayores que uno.

Resulta que las superficies cerradas son topológicamente diferentes si tienen características de Euler diferentes. (Por superficie cerrada, entendemos una superficie sin límites.) El toro tiene la característica de Euler 0, el pretzel (un toro con dos agujeros) tiene la característica de Euler -2, y cada agujero que se añade reduce la característica de Euler en 2. También hay superficies cerradas no orientables; la más famosa es la botella de Klein tiene la característica de Euler 0.

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Pueden darse varias formulaciones equivalentes de la orientabilidad, dependiendo de la aplicación deseada y del nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a las variedades topológicas generales suelen emplear métodos de la teoría de la homología, mientras que en el caso de las variedades diferenciables hay más estructura, lo que permite una formulación en términos de formas diferenciales. Una generalización de la noción de orientabilidad de un espacio es la de orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un haz de fibras) para el que debe seleccionarse una orientación en cada uno de los espacios que varíe continuamente con respecto a los cambios en los valores de los parámetros.

Para una superficie orientable, una elección consistente de «sentido de las agujas del reloj» (en contraposición a las agujas del reloj) se llama una orientación, y la superficie se llama orientada. Para las superficies incrustadas en el espacio euclidiano, la orientación se especifica mediante la elección de una normal de superficie n que varía continuamente en cada punto. Si tal normal existe, siempre hay dos formas de elegirla: n o -n. De forma más general, una superficie orientable admite exactamente dos orientaciones, y la distinción entre una superficie orientada y una superficie orientable es sutil y frecuentemente borrosa. Una superficie orientable es una superficie abstracta que admite una orientación, mientras que una superficie orientada es una superficie abstractamente orientable, y tiene el dato adicional de la elección de una de las dos orientaciones posibles.

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Christian Felix Klein (alemán: [klaɪn]; 25 de abril de 1849 – 22 de junio de 1925) fue un matemático y educador matemático alemán, conocido por su trabajo con la teoría de grupos, el análisis complejo, la geometría no euclidiana y sobre las asociaciones entre la geometría y la teoría de grupos. Su programa de Erlangen de 1872, que clasificaba las geometrías por sus grupos de simetría básicos, fue una síntesis influyente de gran parte de las matemáticas de la época.

Tras pasar cinco años en la Technische Hochschule, Klein fue nombrado catedrático de geometría en Leipzig. Allí tuvo como colegas a Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study y Friedrich Engel. Los años que pasó Klein en Leipzig, de 1880 a 1886, cambiaron fundamentalmente su vida. En 1882, su salud se vino abajo; en 1883-1884, sufrió una depresión[6]. No obstante, su investigación continuó; su trabajo seminal sobre las funciones sigma hiperelípticas, publicado entre 1886 y 1888, data de este periodo.

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